Question

設等差數列{a_n}的首項a₁為a，前n項和為S_n．

(Ⅰ) 若S₁，S₂，S₄成等比數列，求數列{a_n}的通項公式；

(Ⅱ) 證明：n∈N*, S_n，S_n＋1，S_n＋2不構成等比數列．

Answer 1

本題主要考查等差數列、等比數列的概念、等差數列的通項公式及前n項和的公式,同時考查反證法與推理論證能力。滿分14分。

(Ⅰ) 解：設等差數列{a_n}的公差為d，則S_n＝na＋，

S₁＝a，S₂＝2a＋d，S₄＝4a＋6d．由于S₁，S₂，S₄成等比數列，因此

＝S₁S₄，即得d (2a－d)＝0．所以，d＝0或2a．

(1) 當d＝0時，a_n＝a；

(2) 當d＝2a時，a_n＝(2n－1)a．                  …………6分

(Ⅱ) 證明：采用反證法．不失一般性，不妨設對某個m∈N*，S_m，S_m＋1，S_m＋2構成等比數列，即．因此

a²＋mad＋m(m＋1)d²＝0，      ①

(1) 當d＝0時，則a＝0，此時S_m＝S_m＋1＝S_m＋2＝0，與等比數列的定義矛盾；

(2) 當d≠0時，要使數列{a_n}的首項a存在，必有①中的Δ≥0．

然而

Δ＝(md)²－2m(m＋1)d²＝－(2m＋m²)d²＜0，矛盾．

綜上所述，對任意正整數n，S_n，S_n＋1，S_n＋2都不構成等比數列．   …………14分