Question

某項考試按科目A、科目B依次進行，只有當科目A成績合格時，才可以繼續參加科目B的考試．每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得該項合格證書，現在某同學將要參加這項考試，已知他每次考科目A成績合格的概率均為，每次考科目B成績合格的概率均為．假設他在這項考試中不放棄所有的考試機會，且每次的考試成績互不影響，記他參加考試的次數為X．
（1）求X的分布列和均值；
（2）求該同學在這項考試中獲得合格證書的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知X的可能取值是2，3，4，結合變量對應的事件，每次的考試成績互不影響，知道這是一個相互獨立事件同時發生的概率，再根據互斥事件的概率，得到變量對應的概率，寫出分布列和期望．
（2）該同學在這項考試中獲得合格證書，包括四種情況，這四種情況是互斥的，根據互斥事件的概率和相互獨立事件同時發生的概率，得到結果．
解答：解：（1）設該同學“第一次考科目A成績合格”為事件A₁，
“科目A補考后成績合格”為事件A₂，“第一次考科目B成績合格”為事件B₁，
“科目B補考后成績合格”為事件B₂
由題意知，X可能取得的值為：2，3，4

=
∴X的分布列為：

X	2	3	4
P

∴
（2）設“該同學在這項考試中獲得合格證書”為事件C
則=
故該同學在這項考試中獲得合格證書的概率為．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查相互獨立事件同時發生的概率，考查互斥事件的概率，考查對立事件，本題是一個綜合題目，運算過程中數字比較多，注意不要漏乘．