Question

設雙曲線C與雙曲線

y2

4

-

x2

2

=1共漸近線且過點M（

2

，

2

），
（1）求雙曲線C的方程；
（2）是否存在過點P（1，1）的直線l與雙曲線C交于A、B兩點且點P平分線段AB，若存在求直線l的方程，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線C與雙曲線

y2

4

-

x2

2

=1共漸近線設出雙曲線方程

y2

4

-

x2

2

=λ(λ≠0)，代入點的坐標求出λ的值即可得到答案；
（2）假設存在直線l滿足條件，設出交點的坐標，利用點差法求出斜率，寫出直線方程，和雙曲線方程聯立后由判別式得符號加以驗證．

解答：解：（1）∵雙曲線C與雙曲線

y2

4

-

x2

2

=1共漸近線，
∴可設C：

y2

4

-

x2

2

=λ(λ≠0)，
又C過點M（

2

，

2

），代入C得λ=-

1

2

，
故C：x2-

y2

2

=1；
（2）設存在過點P（1，1）的直線l與雙曲線C交于A、B兩點且點P平分線段AB，
并設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

2x12-y12=2① 2x22-y22=2②

，
①-②得，2（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
又A，B的中點P（1，1），∴k=

y1-y2

x1-x2

=2．
故直線l：y-1=2（x-1），即y=2x-1．
代入橢圓方程得，2x²-4x+3=0．
由于△16-24＜0，∴滿足條件的直線不存在．

點評：本題考查了雙曲線的簡單幾何性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，涉及中點弦問題，利用點差法能起到事半功倍的作用，是中高檔題．