Question

乒乓球比賽規則規定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續發球2次后，對方再連續發球2次，依次輪換．每次發球，勝方得1分，負方得0分．設在甲、乙的比賽中，每次發球，發球方得1分的概率為0.6，各次發球的勝負結果相互獨立．甲、乙的一局比賽中，甲先發球．
（Ⅰ）求開始第4次發球時，甲、乙的比分為1比2的概率；
（Ⅱ）ξ表示開始第4次發球時乙的得分，求ξ的期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記A_i表示事件：第1次和第2次這兩次發球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次發球，甲得1分；B表示事件：開始第4次發球，甲、乙的比分為1比2，則B=A₀A+A₁•

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A

，根據P（A）=0.4，P（A₀）=0.16，P（A₁）=2×0.6×0.4=0.48，即可求得結論；
（Ⅱ）P（A₂）=0.6²=0.36，ξ表示開始第4次發球時乙的得分，可取0，1，2，3，計算相應的概率，即可求得ξ的期望．

解答：解：（Ⅰ）記A_i表示事件：第1次和第2次這兩次發球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次發球，甲得1分；
B表示事件：開始第4次發球，甲、乙的比分為1比2，則B=A₀A+A₁•

.

A

∵P（A）=0.4，P（A₀）=0.16，P（A₁）=2×0.6×0.4=0.48
∴P（B）=0.16×0.4+0.48×（1-0.4）=0.352；
（Ⅱ）P（A₂）=0.6²=0.36，ξ表示開始第4次發球時乙的得分，可取0，1，2，3
P（ξ=0）=P（A₂A）=0.36×0.4=0.144
P（ξ=2）=P（B）=0.352
P（ξ=3）=P（A₀•

.

A

）=0.16×0.6=0.096
P（ξ=1）=1-0.144-0.352-0.096=0.408
∴ξ的期望Eξ=1×0.408+2×0.352+3×0.096=1.400．

點評：本題考查相互獨立事件的概率，考查離散型隨機變量的期望，確定變量的取值，計算相應的概率是關鍵．