Question

如圖，在棱長為4的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為BC的中點，點P在線段D₁E上，點P到直線CC₁的距離的最小值為

2 5

5

．

Answer 1

分析：如圖所示，取B₁C₁的中點F，連接EF，ED₁，利用線面平行的性質即可得到C₁C∥平面D₁EF，進而得到異面直線D₁E與C₁C的距離．

解答：解：如圖所示，取B₁C₁的中點F，連接EF，ED₁，
∵EF∥CC₁，EF=CC₁，CC₁⊥底面ABCD，
∴四邊形EFC₁C是矩形．
∴CC₁∥EF，
又EF?平面D₁EF，CC₁?平面D₁EF，∴CC₁∥平面D₁EF．
∴直線C₁C上任一點到平面D₁EF的距離是兩條異面直線D₁E與CC₁的距離．
過點C₁作C₁M⊥D₁F，
∵平面D₁EF⊥平面A₁B₁C₁D₁．
∴C₁M⊥平面D₁EF．
過點M作MP∥EF交D₁E于點P，則MP∥C₁C．
取C₁N=MP，連接PN，則四邊形MPNC₁是矩形．
可得NP⊥平面D₁EF，
在Rt△D₁C₁F中，C₁M•D₁F=D₁C₁•C₁F，得C₁M=

2×1

22+12

=

2 5

5

．
∴點P到直線CC₁的距離的最小值為

2 5

5

．
故答案為：

2 5

5

點評：熟練掌握通過線面平行的性質即可得到異面直線的距離是解題的關鍵．