Question

【文科生做】已知圓C：x²+y²-2x-2y+1=0，直線l：y=kx，且l與圓C相交于P、Q兩點，點M（0，b），且MP⊥MQ．
（1）當b=1時，求k的值；   
（2）求關于b和k的關系式．

Answer 1

分析：（1）將圓的方程化為標準方程，找出圓心C的坐標與半徑，由b=1確定出M的坐標，由MP與MQ垂直得到直線l過圓心，將圓心坐標代入y=kx即可求出k的值；
（2）將圓C的方程與直線l方程聯立，消去y得到關于x的一元二次方程，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用根與系數的關系表示出x₁+x₂與x₁x₂，由MP與MQ垂直，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，將表示出x₁+x₂與x₁x₂代入，整理后得到關于b和k的關系式．

解答：解：（1）將圓的方程化為標準方程得：（x-1）²+（y-1）²=1，
當b=1時，點M（0，1）在圓上，
故當且僅當直線l過圓心C時滿足MP⊥MQ，
∵圓心坐標為（1，1），
∴將x=1，y=1代入得：k=1；
（2）由

x2+y2-2x-2y+1=0 y=kx

，
消去y，可得（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

2(1+k)

1+k2

，x₁x₂=

1

1+k2

，
由MP⊥MQ，
得到

MP

•

MQ

=0，即x₁x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0，
又y₁=kx₁，y₂=kx₂，
∴x₁x₂+（kx₁-b）（kx₂-b）=0，即（1+k²）x₁x₂-kb（x₁+x₂）+b²=0，
∴（1+k²）×

1

1+k2

-kb×

2(1+k)

1+k2

+b²=0，
當b=0時，此式不成立，
則b+

1

b

=

2k2+2k

1+k2

．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，平面向量的數量積運算法則，韋達定理，研究利用導數研究函數的單調性，是一道綜合性較強的試題．