Question

某輪船公司的一艘輪船每小時花費的燃料費與輪船航行速度的平方成正比，比例系數為k．輪船的最大速度為15海里/小時．當船速為10海里/小時，它的燃料費是每小時96元，其余航行運作費用（不論速度如何）總計是每小時150元．假定運行過程中輪船以速度v勻速航行．
（1）求k的值；
（2）求該輪船航行100海里的總費用W（燃料費+航行運作費用）的最小值．

Answer 1

解：（1）由題意，設燃料費為，
∵當船速為10海里/小時，它的燃料費是每小時96元，
∴當v=10時，W₁=96，可得96=k×10²，解之得k=0.96．
（2）∵其余航行運作費用（不論速度如何）總計是每小時150元．
∴航行100海里的時間為小時，可得其余航行運作費用為=元
因此，航行100海里的總費用為
=（0＜v≤15）
∵，
∴當且僅當時，即時，
航行100海里的總費用最小，且這個最小值為2400元．
答：（1）k值為0.96，（2）該輪船航行100海里的總費用W的最小值為2400（元）．
分析：（1）根據題意，設比例系數為k，得燃料費為，將v=10時W₁=96代入即可算出k的值；
（2）算出航行100海里的時間為小時，可燃料費為96v，其余航行運作費用為元，由此可得航行100海里的總費用為，再運用基本不等式即可算出當且僅當v=12.5時，總費用W的最小值為2400（元）．
點評：本題給出函數應用題，求航行所需費用的最小值，著重考查應用題的轉化能力、運用基本不等式求最值和基本不等式取等號的條件等知識，屬于中檔題．