Question

已知函數f(x)=lnx-

a

x

(a∈R)．
（1）判斷f（x）在定義域上的單調性；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值為2，求a的值．

Answer 1

分析：（1）先確定f（x）的定義域為（0，+∞），再求導，由“f'（x）＞0，f（x）為增函數f'（x）＜0，f（x）在為減函數”判斷，要注意定義域和分類討論．
（2）因為f′(x)=

x+a

x2

，x＞0．由（1）可知①當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上為增函數，f（x）_min=f（1）當0＜-a≤1時，即a≥-1時，f（x）在（0，+∞）上也是增函數，f（x）_min=f（1）③當1＜-a＜e時，即-e＜a＜-1時，f（x）在[1，-a]上是減函數，在（-a，e]上是增函數，f（x）_min=f（-a）④當-a≥e時，即a≤-e時，f（x）在[1，e]上是減函數，f（x）_min=f（e）最后取并集．

解答：解：（1）由題意得f（x）的定義域為（0，+∞），．（0，+∞）
①當a≥0時，f'（x）＞0，故f（x）在上為增函數；
②當a＜0時，由f'（x）=0得x=-a；由f'（x）＞0得x＞-a；由f'（x）＜0得x＜-a；
∴f（x）在（0，-a]上為減函數；在（-a，+∞）上為增函數．
所以，當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上是增函數；當a＜0時，f（x）在（0，-a]上是減函數，在（-a，+∞）上是增函數．
（2）∵f′(x)=

x+a

x2

，x＞0．由（1）可知：
①當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上為增函數，f（x）_min=f（1）=-a=2，得a=-2，矛盾!
②當0＜-a≤1時，即a≥-1時，f（x）在（0，+∞）上也是增函數，f（x）_min=f（1）=-a=2，∴a=-2（舍去）．
③當1＜-a＜e時，即-e＜a＜-1時，f（x）在[1，-a]上是減函數，在（-a，e]上是增函數，
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=2，得a=-e（舍去）．
④當-a≥e時，即a≤-e時，f（x）在[1，e]上是減函數，有f(x)min=f(e)=1-

a

e

=2，
∴a=-e．
綜上可知：a=-e．

點評：本題主要考查用導數法研究函數的單調性，基本思路是：當函數為增函數時，導數大于等于零；當函數為減函數時，導數小于等于零，已知單調性求參數的范圍時，往往轉化為求相應函數的最值問題．