Question

(本小題滿分l2分)

已知函數

（1）若，求函數的極小值；

（2）設函數，試問：在定義域內是否存在三個不同的自變量使得的值相等，若存在，請求出的范圍，若不存在，請說明理由？

 

Answer 1

【答案】

（1）極小值   （2）不存在

【解析】

試題分析：（I）由已知得， 

則當時，可得函數在上是減函數，

當時，可得函數在上是增函數，

故函數的極小值為；

(Ⅱ)若存在，設，則對于某一實數，方程在上有三個不同的實數根，設，

則有兩個不同的零點，即關于的方程有兩個不同的解

，

則，

設，則，故在上單調遞增，

則當時，即，

又，則故在上是增函數，

則至多只有一個解，故不存。

方法二：關于方程的解，

當時，由方法一知，此時方程無解；

當時，可以證明是增函數，此方程最多有一個解，故不存在。

考點：利用導數研究函數的單調性；極值；函數的零點．

點評：本題考查函數的單調區間的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法．綜合性強，難度大，具有一定的探索性．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．