Question

 

如圖，三棱錐P—ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD平面PAB．

（1）求證：AB平面PCB；

（2）求異面直線AP與BC所成角的大小；

（3）求平面PAC和平面PAB所成銳二面角的余弦值.

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解法一(1)∵PC平面ABC，平面ABC，∴PCAB．……(2分)

∵CD平面PAB，平面PAB，∴CDAB．……………(3分)

又，∴AB平面PCB．  ……………………(4分)

(2)過點A作AF//BC，且AF=BC，連結PF，CF．

則為異面直線PA與BC所成的角．………(6分)

由（1）可得AB⊥BC，∴CFAF．

由三垂線定理，得PFAF．

則AF=CF=，PF=，

在中，  tan∠PAF==，

∴異面直線PA與BC所成的角為．…………………………………(8分)

（3）取AP的中點E，連結CE、DE．

∵PC=AC=2，∴CE PA，CE=．

∵CD平面PAB，

由三垂線定理的逆定理，得  DE PA．

∴為二面角C-PA-B的平面角．…………………………………(10分)

由(1) AB平面PCB，又∵AB=BC，可得BC=．

　    　在中，PB=，．

在中，

sin∠CED=．     ……(12分)

解法二：（1）同解法一．

(2) 由(1) AB平面PCB，∵PC=AC=2，

又∵AB=BC，可求得BC=．

以B為原點，如圖建立坐標系．

則Ａ（０，，０），Ｂ（0，0，0），

C（，０，0），P（，０，2）．

，．

…………………(7分)

    則+0+0=2．

        == ．

   ∴異面直線AP與BC所成的角為．………………………(8分)

（3）設平面PAB的法向量為．

，，

則   即解得   令= -1,  得 = (，0，-1)．

   設平面PAC的法向量為=()．，，

 則   即解得   令=1, 得 n= (1，1，0)．

    =．………………(12分)