Question

已知雙曲線的左、右頂點分別為A₁，A₂，點P（x₁，y₁），Q（x₁，-y₁）是雙曲線上不同的兩個動點．
（1）求直線A₁P與A₂Q交點的軌跡E的方程；
（2）若過點H（0，h）（h＞1）的兩條直線l₁和l₂與軌跡E都只有一個交點，且l₁⊥l₂，求h的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定直線A₁P與A₂Q的方程；再聯立方程組解之（相乘處理）；最后利用點P（x₁，y₁）在雙曲線上，消去參數x₁、y₁（整體消元）求出軌跡E的方程；
（2）先由l₁⊥l₂設出兩直線方程；再分別與橢圓方程聯立，根據只有一個交點（即△=0）得出k、h的兩個方程；最后解出h的值．
解答：解：（1）由A₁，A₂為雙曲線的左右頂點知，，
則，，
兩式相乘得，
因為點P（x₁，y₁）在雙曲線上，所以，即，
所以，即，
故直線A₁P與A₂Q交點的軌跡E的方程為．（x≠，x≠0）
（2）設l₁：y=kx+h（k＞0），則由l₁⊥l₂知，．
將l₁：y=kx+h代入得，
即（1+2k²）x²+4khx+2h²-2=0，
若l₁與橢圓相切，則△=16k²h²-4（1+2k²）（2h²-2）=0，即1+2k²=h²；
同理若l₂與橢圓相切，則．
由l₁與l₂與軌跡E都只有一個交點包含以下四種情況：
[1]直線l₁與l₂都與橢圓相切，即1+2k²=h²，且，消去h²得，即k²=1，
從而h²=1+2k²=3，即；
[2]直線l₁過點，而l₂與橢圓相切，此時，，解得；
[3]直線l₂過點，而l₁與橢圓相切，此時，1+2k²=h²，解得；
[4]直線l₁過點，而直線l₂過點，此時，，∴．
綜上所述，h的值為．
點評：本題綜合考查直線與圓錐曲線的位置關系及點的軌跡方程求法；同時考查方程思想、運算能力等．