如圖所示的長方體中.底面是邊長為的正方形.為與的交點..是線段的中點． (Ⅰ)求證:平面, (Ⅱ)求證:平面, (Ⅲ)求二面角的大小．題目和參考答案——青夏教育精英家教網—

精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

（本題滿分14分）

如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點，，是線段的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的大�。�

(Ⅰ) 見解析(Ⅱ)見解析（Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）連接，如圖，∵、分別是、的中點，是矩形，

∴四邊形是平行四邊形，∴． ……………………………………………2分

∵平面，平面，

∴平面．………………………… 4分

（Ⅱ）連接，∵正方形的邊長為，，

∴，，，

則，∴． ……………6分

∵在長方體中，，

，

∴平面，又平面，

∴，又，

∴平面． ……………………………8分

（Ⅲ）在平面中過點作于，連結，

∵，，

∴平面，又平面， ……………………9分

∴，又，且，

∴平面，而平面， ………………………………_ks5u

_ks5u

10分

∴．

∴是二面角的平面角． …………………………_ks5u

_ks5u

12分

在中，，

∴，，

∴二面角的大小為． ………………………………………_ks5u

_ks5u

14分

解法2（坐標法）：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系．連接，則點、，

∴

又點，，

∴

∴，且與不共線，

∴．

又平面，平面，

∴平面． …………………………………_ks5u

_ks5u

4分

（Ⅱ）∵，

∴，，即，，

又，∴平面． …………………………………………_ks5u

_ks5u

8分

（Ⅲ）∵，，∴平面，

∴為平面的法向量．

∵，，

∴為平面的法向量．

∴，

∴與的夾角為，即二面角的大小為． ……………………………14分

（Ⅲ）（法三）設二面角的大小為，在平面內的射影就是，根據射影面積公式可得，，

∴，∴二面角的大小為 …………_ks5u

_ks5u

14分

練習冊系列答案

智慧學習（同步學習）明天出版社系列答案

年級	高中課程	年級	初中課程
高一	高一免費課程推薦！	初一	初一免費課程推薦！
高二	高二免費課程推薦！	初二	初二免費課程推薦！
高三	高三免費課程推薦！	初三	初三免費課程推薦！
更多初中、高中輔導課程推薦,點擊進入>>