Question

(山東師大附中模擬)已知奇函數f(x)的定義域為R，且f(x)在上是增函數，是否存在實數m，使f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)＞f(0)對所有都成立?若存在，求出符合條件的所有實數m的范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：∵f(x)是R上的奇函數，且在[0，＋∞)上是增函數，(2分) ∴f(x)是R上的增函數，于是不等式可等價地轉化為： f(cos2θ－3)＞f(2mcosθ－4m)， 即cos2θ－3＞2mcosθ－4m， 即．　　(6分) (1)解法一：對于恒成立 等價于對于恒成立．　　　(8分) ∵當時，，　　　　(10分) ∴．　　　　　　　　　　　　　(12分) 解法二：設t=cos θ，則問題等價地轉化為函數 在[0，1]上的值恒為正， 又轉化為函數g(t)在[0，1]上的最小值為正，　　　　(6分) 當，即m＜0時，與m＜0不符； 當時，即0≤m≤2時， ，∴；當， 即m＞2時，，∴m＞2．　　　　(10分) 綜上：m的值存在，其取值是．　　　　　(12分)