Question

已知O為銳角△ABC的外心，AB=6，AC=10，,且2x+10y=5，則邊BC的長
為.

Answer 1

4

分別取AB、AC的中點D、E，連結OD、OE，∵O是銳角△ABC的外接圓的圓心，D、E分別為AB、AC的中點，∴OD⊥AB，OE⊥AC．由此可得在Rt△AOD中，cos∠OAD=，
∴==18.
同理可得=50．
∵，
∴等式的兩邊都與作數量積，得，化簡得18=36x+y， ①
同理，等式的兩邊都與作數量積，化簡得50=x+100y， ②
又∵根據題意知2x+10y=5， ③
∴①②③聯解，可得=20，x=且y=.

∴AC·ABcos∠A=20，即10×6cos∠A=20，cos∠A=，
由余弦定理得，BC²=AB²+AC²-2AB·ACcos∠A=96,BC=4.
【考點】1.三角形外接圓的性質；2.銳角的三角函數在直角三角形中的定義；3.向量量的數量積公式和方程組的解法.