Question

已知a，b是不相等的正實數，求證：（a²b+a+b²）（ab²+a²+b）＞9a²b²．

Answer 1

分析：根據所給的a，b是正數，把不等號的左邊的兩個因式，分別使用均值不等式，注意等號成立的條件，把所得的兩個均值不等式相乘，整理成最簡形式，就是不等式右邊的部分，由a，b是不相等的正實數得到等號不能成立．

解答：證明：∵a，b是正實數，
∴a2b+a+b2≥3

3	a2b•a•b2

=3ab＞0
（當且僅當a²b=a=b²即a=b=1時，等號成立）
同理：ab2+a2+b≥3

3	ab2•a2•b

=3ab＞0
（當且僅當ab²=a²=b即a=b=1時，等號成立）
∴（a²b+a+b²）（ab²+a²+b）≥9a²b²．
（當且僅當ab²=a²=b即a=b=1時，等號成立）
∵a≠b，
∴（a²b+a+b²）（ab²+a²+b）＞9a²b²．

點評：本題考查均值不等式，考查均值不等式等號成立的條件，考查不等式的基本性質，是一個綜合題目，這種題目在大型考試中單獨出現的機會沒有，但是可以作為綜合題目的一個知識的出現．