Question

數列的前項和為，．

（Ⅰ）設，證明：數列是等比數列；

（Ⅱ）求數列的前項和.

（Ⅲ）若，，求不超過的最大的整數值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用遞推式相減后，構造等比數列進行證明；（Ⅱ）利用錯位相減法求解；（Ⅲ）借助第一問的結論，確定數列的通項公式，進而采用裂項相消法求解P，進而利用放縮求不超過的最大的整數值.

試題解析：（Ⅰ）因為，

所以 ① 當時，，則，            1分

② 當時，，        2分

所以，即，

所以，而，        3分

所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以．     4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

所以  ①，

②，     6分

②-①得：，     7分

.      9分

（Ⅲ）由(1)知         10分

，   12分

所以

，

故不超過的最大整數為．                 13分

考點：1.等比數列的證明；2.數列求和。