Question

在△ABC中，A、B為定點，C為動點，記∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，已知c=2，且存在常數λ
（λ＞0），使得．
（1）求動點C的軌跡，并求其標準方程；
（2）設點O為坐標原點，過點B作直線l與（1）中的曲線交于M，N兩點，若OM⊥ON，試確定λ的范圍．

Answer 1

解：（1）在△PAB中，由余弦定理，有2²=a²+b²-2abcosC，，
所以，點P的軌跡C是以A，B為焦點，長軸長的橢圓．（除去長軸上的頂點）
如圖，以A、B所在的直線為x軸，以A、B的中點為坐標原點建立直角坐標系．
則，A（-1，0）和B（1，0）．
橢圓C的標準方程為：（y≠0）．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
①當MN垂直于x軸時，MN的方程為x=1，由題意，有M（1，1），N（1，-1）在橢圓上．
即，由λ＞0，得．
②當MN不垂直于x軸時，設MN的方程為y=k（x-1）．
由得：[λ+（1+λ）k²]x²-2（1+λ）k²x+（1+λ）（k²-λ）=0，
由題意知：λ+（1+λ）k²＞0，
所以，．
于是：．
因為OM⊥ON，所以，
所以，
所以，，
由λ＞0得1+λ-λ²＞0，解得．
綜合①②得：．
分析：（1）在△PAB中，由余弦定理，有2²=a²+b²-2abcosC，，故點P的軌跡C是以A，B為焦點，長軸長的橢圓，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），當MN垂直于x軸時，MN的方程為x=1，由題意，，由λ＞0，得．當MN不垂直于x軸時，設MN的方程為y=k（x-1）．由得：[λ+（1+λ）k²]x²-2（1+λ）k²x+（1+λ）（k²-λ）=0，由題意知：λ+（1+λ）k²＞0，再由韋達定理能導出．由此可知．
點評：本題考動點C的軌跡方程和確定λ的范圍．解題時要認真審題，仔細解答，注意韋達定理和橢圓性質的應用．