【題目】已知函數.
(1)函數,討論
的單調性;
(2)曲線在點
處的切線為
,是否存在這樣的點
使得直線
與曲線
也相切,若存在,判斷滿足條件的點
的個數,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)存在,有且只有兩個
【解析】
(1)利用導數的運算法則得出,分
,
,
,
討論單調性,分別解出
與
的區間即可得出單調區間.
(2)先求直線為函數的圖象上一點
處的切線方程,再設直線
與
的圖象也相切,切點為
,進而可得
,再判斷方程在區間
上有且只有兩個實數根.
(1)因為:,
所以:.
所以:①當時:
在
上為減函數,在
為增函數;
②當時:
在
上為增函數,在
上為減函數,在
上為增函數;
③當時:
在
上為增函數;
④當時:
在
上為增函數,在
上為減函數,在
上為增函數.
(2)設.
因為:,所以:
.
所以直線的方程為:
,即:
①.
假設直線與
的圖象也相切,切點為:
.
因為,所以
.
所以直線的方程也可以寫作為:
.
又因為,即:
.
所以直線的方程為:
,即:
②.
由①②有:,即:
.
令,
所以.
令,得:
,
所以在
遞減,在
遞增.
所以,
又因為當時,
;當
時,
.
所以在
有且只有兩個實數根.
所以,存在這樣的點使得直線
與函數
的圖象也相切,這樣的點
有且只有兩個.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C :與圓
相交于M,N,P,Q四點,四邊形MNPQ為正方形,△PF1F2的周長為
(1)求橢圓C的方程;
(2)設直線l與橢圓C相交于A、B兩點若直線AD與直線BD的斜率之積為
,證明:直線恒過定點.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某省從2021年開始,高考采用取消文理分科,實行“”的模式,其中的“1”表示每位學生必須從物理、歷史中選擇一個科目且只能選擇一個科目.某校高一年級有2000名學生(其中女生900人).該校為了解高一年級學生對“1”的選課情況,采用分層抽樣的方法抽取了200名學生進行問卷調查,下表是根據調查結果得到的
列聯表.
性別 | 選擇物理 | 選擇歷史 | 總計 |
男生 | ________ | 50 | |
女生 | 30 | ________ | |
總計 | ________ | ________ | 200 |
(1)求,
的值;
(2)請你依據該列聯表判斷是否有99.5%的把握認為選擇科目與性別有關?說明你的理由.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附:,其中
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】自由購是通過自助結算方式購物的一種形式. 某大型超市為調查顧客使用自由購的情況,隨機抽取了100人,統計結果整理如下:
20以下 | 70以上 | ||||||
使用人數 | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人數 | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
(Ⅰ)現隨機抽取 1 名顧客,試估計該顧客年齡在且未使用自由購的概率;
(Ⅱ)從被抽取的年齡在使用自由購的顧客中,隨機抽取3人進一步了解情況,用
表示這3人中年齡在
的人數,求隨機變量
的分布列及數學期望;
(Ⅲ)為鼓勵顧客使用自由購,該超市擬對使用自由購的顧客贈送1個環保購物袋.若某日該超市預計有5000人購物,試估計該超市當天至少應準備多少個環保購物袋.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,曲線
的參數方程為
(
為參數),直線
過原點且傾斜角為
,以原點為極點,
軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線和直線
的極坐標方程;
(2)若相交于不同的兩點,求
的取值范圍.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩焦點為
,
,且橢圓上一點
,滿足
,直線
與橢圓
交于
、
兩點,與
軸、
軸分別交于點
、
,且
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若,且
,求
的值;
(3)當△面積取得最大值,且點
在橢圓
上時,求
的值.
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