【題目】已知函數
.
（1）函數
，討論
的單調性；
（2）曲線
在點
處的切線為
，是否存在這樣的點使得直線與曲線
也相切，若存在，判斷滿足條件的點的個數，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）見解析；（2）存在，有且只有兩個
【解析】
（1）利用導數的運算法則得出
，分
，
，
，
討論單調性，分別解出
與
的區間即可得出單調區間．
（2）先求直線
為函數的圖象上一點
處的切線方程，再設直線與
的圖象也相切，切點為
，進而可得
，再判斷方程在區間
上有且只有兩個實數根．
（1）因為：
，
所以：
.
所以：①當時：
在
上為減函數，在
為增函數；
②當時：在
上為增函數，在
上為減函數，在上為增函數；
③當時：在上為增函數；
④當時：在上為增函數，在
上為減函數，在
上為增函數.
（2）設.
因為：
，所以：
.
所以直線的方程為：
，即：
①.
假設直線與的圖象也相切，切點為：.
因為
，所以
.
所以直線的方程也可以寫作為：
.
又因為
，即：
.
所以直線的方程為：
，即：
②.
由①②有：，即：
.
令
，
所以
.
令
，得：
，
所以
在
遞減，在
遞增.
所以
，
又因為當
時，
；當
時，.
所以
在有且只有兩個實數根.
所以，存在這樣的點
使得直線與函數的圖象也相切，這樣的點有且只有兩個.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C ：
與圓
相交于M，N，P，Q四點，四邊形MNPQ為正方形，△PF1F2的周長為
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l與橢圓C相交于A、B兩點
若直線AD與直線BD的斜率之積為
，證明：直線恒過定點.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某省從2021年開始，高考采用取消文理分科，實行“
”的模式，其中的“1”表示每位學生必須從物理、歷史中選擇一個科目且只能選擇一個科目.某校高一年級有2000名學生（其中女生900人）.該校為了解高一年級學生對“1”的選課情況，采用分層抽樣的方法抽取了200名學生進行問卷調查，下表是根據調查結果得到的
列聯表.
性別 | 選擇物理 | 選擇歷史 | 總計 |
男生 | ________ | 50 |
|
女生 | 30 | ________ |
|
總計 | ________ | ________ | 200 |
（1）求
，
的值；
（2）請你依據該列聯表判斷是否有99.5%的把握認為選擇科目與性別有關？說明你的理由.
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附：
，其中
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】自由購是通過自助結算方式購物的一種形式. 某大型超市為調查顧客使用自由購的情況，隨機抽取了100人，統計結果整理如下：
20以下 |
|
|
|
|
| 70以上 | |
使用人數 | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人數 | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
（Ⅰ）現隨機抽取 1 名顧客，試估計該顧客年齡在
且未使用自由購的概率；
（Ⅱ）從被抽取的年齡在
使用自由購的顧客中，隨機抽取3人進一步了解情況，用
表示這3人中年齡在
的人數，求隨機變量的分布列及數學期望；
（Ⅲ）為鼓勵顧客使用自由購，該超市擬對使用自由購的顧客贈送1個環保購物袋.若某日該超市預計有5000人購物，試估計該超市當天至少應準備多少個環保購物袋.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），直線
過原點且傾斜角為
，以原點為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
（1）求曲線和直線的極坐標方程；
（2）若相交于不同的兩點
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的兩焦點為
，
，且橢圓上一點
，滿足
，直線
與橢圓
交于
、
兩點，與
軸、
軸分別交于點
、
，且
.
（1）求橢圓的方程；
（2）若
，且
，求
的值；
（3）當△
面積取得最大值，且點
在橢圓上時，求
的值.
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