Question

已知函數
（Ⅰ）當x＜1時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）求函數f（x）在[-1，e]（e為自然對數的底數）上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實數a，曲線y=f（x）上是否存在兩點P，Q，使得POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出導數等于零的值，然后根據導數符號研究函數的單調性，判定極值點，代入原函數，求出極值即可；
（II）根據（I）可知f（x）在[-1，1）上的最大值為2．當1≤x≤2時，f（x）=alnx．當a≤0時，f（x）≤0，f（x）最大值為0；當a＞0時，f（x）在[1，e]上單調遞增．當a≤2時，f（x）在區間[-1，e]上的最大值為2；當a＞2時，f（x）在區間[-1，e]上的最大值為a．
（II）假設曲線y=f（x）上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在y軸兩側．設P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），顯然t≠1．由此入手能得到對任意給定的正實數a，曲線y=f（x）上存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上．
解答：解：（Ⅰ）當x＜1時，f（x）=-x³+x²，f'（x）=-3x²+2x
令f′（x）=0得x=0或x=
當x＜0時，f′（x）＜0，當0＜x時，f′（x）＞0，當x＞時，f′（x）＜0
當x=0時，f（x）取得極小值f（0）=0
當x=時，f（x）取得極大值f（）=
（Ⅱ）①由（1）知當-1≤x≤1時，f（x）在x=處取得極大值．
又f（-1）=2，f（1）=0，所以f（x）在[-1，1）上的最大值為2．（4分）
②當1≤x≤e時，f（x）=alnx，當a≤0時，f（x）≤0；當a＞0時，
f（x）在[1，e]上單調遞增，所以f（x）在[1，e]上的最大值為a．
所以當a≥2時，f（x）在[-1，e]上的最大值為a；
當a＜2時，f（x）在[-1，e]上的最大值為2．（8分）
（Ⅲ）假設曲線y=f（x）上存在兩點P，Q，使得POQ是以O為直角頂點的直角三角形，
則P，Q只能在y軸的兩側，不妨設P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），且t≠1．
因為△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，所以=0，
即：-t²+f（t）•（t³+t²）=0（1）…（10分）
是否存在點P，Q等價于方程（1）是否有解．
若0＜t＜1，則f（t）=-t³+t²，代入方程（1）得：t⁴-t²+1=0，此方程無實數解．
若t≥1，則f（t）=alnt，代入方程（1）得到：=（t+1）lnt，（12分）
設h（x）=（x+1）lnx（x≥1），則h'（x）=lnx++1＞0在[1，+∞）上恒成立．
所以h（x）在[1，+∞）上單調遞增，從而h（x）≥h（1）=0，
所以當a＞0時，方程=（t+1）lnt有解，即方程（1）有解．
所以，對任意給定的正實數a，曲線y=f（x）上存在兩點P，Q，
使得POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上．（14分）
點評：本題考查導數的性質和應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．解答關鍵是利用導數求閉區間上函數的最值．