Question

【題目】已知函數g（x）=x2﹣（2a+1）x+alnx （Ⅰ） 當a=1時，求函數g（x）的單調增區間；
（Ⅱ） 求函數g（x）在區間[1，e]上的最小值；
（Ⅲ） 在（Ⅰ）的條件下，設f（x）=g（x）+4x﹣x2﹣2lnx，
證明： ＞ （n≥2）．（參考數據：ln2≈0.6931）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=1時，g（x）=x2﹣3x+lnx， ∴ ，
解得x＞1或x＜ ．
∴函數f（x）的單調增區間為（0， ），（1，+∞）．
（Ⅱ）解：g（x）=x2﹣（2a+1）x+alnx，

=
= =0，
當a≤1，x∈[1，e]，g′（x）＞0，g（x）單調增．g（x）min=﹣2a，
當1＜a＜e，x∈（1，a），g′（x）＜0，g（x）單調減．
x∈（a，e），g′（x）＞0，g（x）單調增．
g（x）min=g（a）=﹣a2﹣a+alna，
當a≥e，x∈[1，e]，g′（x）≤0，g（x）單調減，
g（x）min=e2﹣（2a+1）e+a．
∴g（x）min= ．
（Ⅲ）證明：令h（x）=lnx﹣ ，
∵x∈[2，+∞）， ，
∴ ，即lnx＜ ，
∴ =2（ ），
k﹣f（k）=lnk，
= =
＞2（1﹣ + ﹣ +…+ ）
＞2（1+ ）
= ，（n≥2）．
∴ ＞ （n≥2）
【解析】（Ⅰ）由 ，能求出函數f（x）的單調增區間．（Ⅱ） = =0，由此根據a的取值范圍分類討論，能求出g（x）min ． （Ⅲ）證明：令h（x）=lnx﹣ ，由x∈[2，+∞），得 ，從而得到 ＞2（ ），k﹣f（k）=lnk，由此能證明 ＞ （n≥2）．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關知識才是答題的關鍵．