Question

（2011•南昌三模）如圖（1）是一個水平放置的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是棱BC的中點，正三棱柱的正（主）視圖如圖（2）．
（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積；
（2）證明：A₁B∥平面ADC₁；

Answer 1

分析：（1）直接求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC的面積，求出高AA₁，即可求出體積；
（2）連接A₁C，證明A₁B平行平面ADC₁內的直線DE，即可證明A₁B∥平面ADC₁．

解答：證明：（1）依題意，在正三棱柱中，AD=

3

，
AA₁=3，從而AB=2，AA₁⊥平面ABC，
所以正三棱柱的體積 V=Sh=

1

2

×AB×AD×AA1=

1

2

×2×

3

×3=3

3

．
（2）連接A₁C，設A₁C∩AC₁=E，
連接DE，因為AA₁C₁C是正三棱柱的側面，
所以AA₁C₁C是矩形，E是A₁C的中點，
所以DE是△A₁BC的中位線，DE∥A₁B，
因為DE?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁．

點評：本題考查棱柱的結構特征，平面與平面垂直的判斷，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．