Question

已知函數f（x）=log_a（x²-4ax+3a²）（a＞0，a≠1）．
（I）求函數f（x）的定義域；
（II）若f（x）在區間[a+2，a+3]上滿足|f（x）|≤1，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求函數f（x）的定義域，依據對數函數的定義，底數大于0且不等于1，真數大于0，轉化為不等式用參數a表示出函數f（x）的定義域；
（II）由（I）的結論知[a+2，a+3]必為（0，a）或者（3a，+∞）的子集，故[a+2，a+3]必為f（x）的單調區間，欲滿足|f（x）|≤1，只須|f（a+2）|≤1，|f（a+3）|≤1同時成立，解此二不等式即可求得a的取值范圍．

解答：解：（I）由對數定義知a＞0且a≠1，
   由  x²-4ax+3a²＞0，變形得（x-3a）（x-a）＞0
   解得  x＞3a，或  x＜a
   所以定義域（0，a）∪（3a，+∞）
 （II）由（I）的結論知[a+2，a+3]必為（0，a）或者（3a，+∞）的子集，故[a+2，a+3]必為f（x）的單調區間，
   若[a+2，a+3]?（0，a），a無解
   若[a+2，a+3]?（3a，+∞）則a+2＞3a，得a＜1，此時外層函數為減函數，內層函數t=x²-4ax+3a²在區間[a+2，a+3]上是增函數
∴f（x）在區間[a+2，a+3]上是減函數，又滿足|f（x）|≤1，
∴

f(a+2)≤1 f(a+3)≤1

解得

a≤ 4 5 a≥ 3 4 + 14 6 或a≤ 3 4 - 14 6

即a≤ 

3

4

-

14

6

   又a＞0，故a的取值范圍是（0，

3

4

-

14

6

）

點評：本題考查對數型復合函數，求其定義域時要注意底數大于0且不等式于1，第二問考查了利用復合函數的單調性轉化為不等式求參數，有一定難度．