Question

設不等式x²-2ax+a+2≤0的解集為M，如果M⊆[1，4]，則實數a的范圍是

 

．

Answer 1

分析：由已知中關于x的不等式x²-2ax+a+2≤0的解集為M，M⊆[1，4]，根據二次函數的圖象和性質，得到滿足條件的a的取值范圍

解答：解：∵不等式x²-2ax+a+2≤0的解集為M，M⊆[1，4]，
當M=∅時，△=（-2a）²-4（a+2）＜0，
解得，-1＜a＜2；
當M≠∅時，
設f（x）=x²-2ax+a+2，圖象是拋物線，開口向上，對稱軸是x=a；
∴

(-2a)2-4(a+2)≥0 1≤a≤4 f(1)≥0 f(4)≥0

，
解得：2≤a≤

18

7

，
∴a的取值范圍為（-1，2）∪[2，

18

7

]=（-1，

18

7

]
故答案為：(-1，

18

7

]

點評：本題考查了二次函數的圖象與性質，解題時根據二次函數的圖象分析M⊆[1，4]時滿足的條件，將問題轉化解不等式組，是解題的關鍵．