Question

拋物線，直線過拋物線的焦點，交軸于點.

（1）求證：；
（2）過作拋物線的切線，切點為（異于原點），
（ⅰ）是否恒成等差數列，請說明理由；
（ⅱ）重心的軌跡是什么圖形，請說明理由.

Answer 1

（1） 即證   （2） 能   拋物線

解析試題分析：（1）由于點F的坐標已知，所以可假設直線AB的方程（依題意可得直線AB的斜率存在）.寫出點P的坐標，聯立直線方程與拋物線方程消去y，即可得到一個關于x的一元二次方程，寫出韋達定理，再根據欲證轉化為點的坐標關系.
（2）（ⅰ）根據提議分別寫出，結合韋達定理驗證是否成立.
（ⅱ）由三角形重心的坐標公式，結合韋達定理，消去參數k即可得到重心的軌跡.
（1）因為，所以假設直線AB為，，所以點.聯立可得，，所以.因為， .所以.
（2）（ⅰ）設，的導數為.所以可得，即可得.即得.
..所以可得即是否恒成等差數列.
（ⅱ）因為重心的坐標為由題意可得.即，消去k可得.
考點：1.拋物線的性質.2.解方程的思想.3.等差數列的證明.4.三角形的重心的公式.5.運算能力.6.分析問題和解決問題的能力、以及等價轉化的數學思想.