Question

 

    如圖，在三棱柱中，所有的棱長都為2，

   （Ⅰ）求證：；

   （Ⅱ）當三棱柱的體積最大時，求平面與平面所成的銳角的

         余弦值。

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）證明：取的中點，連接，

    在三棱柱中，

    所有棱長都為2，

    則，……2分

    所以平面而平面，

    ∴            ……………………4分

   （Ⅱ）解法一：當三棱柱的體積最大時，點到平面的距離最大，

    此時平面.       ……………………6分

    設平面與平面的交線為，

    在三棱柱中，，平面，

    ∴，         ……………………8分

    過點作交于點，連接.由，知平面，

    ∴，故為平面與平面所成二面角的平面角。……10分

    在中，,則

    在中，，,…12分即平面與平面所成銳角的余弦值為。

    解法二：當三棱柱的體積最大時，點到平面的距離最大，此時

    平面.以所在的直線分別為軸，建立直角坐標系，依題

    意得.

    由得，設平面的一個法向量為

    而，

    則，

    取………………10分

    ∵平面，

    ∴平面的一個法向量為

    ∴，

    故平面與平面所成銳角的1余弦值為。   ……………………12分