Question

已知實數a滿足下列兩個條件：①關于x的方程ax²+3x+1=0有解；②代數式log₂（a+3）有意義．則使得指數函數y=（3a-2）^x為減函數的概率為

4

63

．

Answer 1

分析：根據題意先確定是幾何概型中的長度類型，由實數a滿足下列兩個條件得出關于a的不等式，并求出構成的區域長度，再求出指數函數y=（3a-2）^x為減函數的數a構成的區域長度，再求兩長度的比值．

解答：解：：①關于x的方程ax²+3x+1=0有解，
則a=0或△≥0?a≤

9

4

，
②代數式log₂（a+3）有意義?a＞-3．
綜合得：-3＜a≤

9

4

．
滿足兩個條件：①②數a構成的區域長度為

9

4

+3=

21

4

，
指數函數y=（3a-2）^x為減函數?0＜3a-2＜1?

2

3

＜a＜1．
則其構成的區域長度為：1-

2

3

=

1

3

，
則使得指數函數y=（3a-2）^x為減函數的概率為

1 3

21 4

=

4

63

；
故答案為：

4

63

．

點評：本題主要考查概率的建模和解模能力，本題是長度類型，思路是先求得試驗的全部構成的長度和構成事件的區域長度，再求比值．