Question

某網店對一應季商品過去20天的銷售價格及銷售量進行了監測統計發現，第x天（1≤x≤20，x∈N）的銷售價格（單位：元）為p=

44+x，1≤x≤6 56-x，6＜x≤20

，第x天的銷售量為q=

48-x，1≤x≤8 32+x，8＜x≤20

，已知該商品成本為每件25元．
（Ⅰ）寫出銷售額t關于第x天的函數關系式；
（Ⅱ）求該商品第7天的利潤；
（Ⅲ）該商品第幾天的利潤最大？并求出最大利潤．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意寫出銷售額t關于第x天的函數關系式；
（Ⅱ）根據分段函數，求該商品第7天的利潤；
（Ⅲ）利用函數的性質，求出函數的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由題意知t=

(44+x)(48-x)，1≤x≤6 (56-x)(48-x)，6＜x≤8 (56-x)(32+x)，8＜x≤20

-----------------------------------（5分）
（Ⅱ）當x=7時，t=（56-7）×（48-7）-25×（48-7）=984元-----------------------------------（8分）
（Ⅲ）設該商品的利潤為H（x），
則

H(x)= (44+x-25)(48-x)，1≤x≤6 (56-x-25)(48-x)，6＜x≤8 (56-x-25)(32+x)，8＜x≤20 = (19+x)(48-x)，1≤x≤6 (31-x)(48-x)，6＜x≤8 (31-x)(32+x)，8＜x≤20

-----------------------------------（11分）
當1≤x≤6時，H_max（x）=H（6）=1050
當6＜x≤8時，H_max（x）=H（7）=984
當8＜x≤20時，H_max（x）=H（9）=902
∴第6天利潤最大，最大利潤為1050元．-----------------------------------（14分）

點評：本題主要考查函數的應用，根據題意列出分段函數，然后利用分段函數研究函數的性質．