Question

【題目】已知函數.

(1)若函數與函數在處有相同的切線,求實數的值;

(2)當時, ,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）.

【解析】

（1）根據題意，求出f（x）與g（x）的導數，由導數的幾何意義可得f'（1）=g'（1），則2λ=1，解可得λ的值，即可得答案；

（2）根據題意，設h（x）=f（x）﹣g（x）=xlnx﹣λ（x2﹣1），則原問題可以轉化為h（x）≤0對x∈[1，+∞）恒成立，求出h（x）的導數，利用導數與函數單調性的關系，分析可得答案．

(1)由題意得,

又,且函數與在處有相同的切線,

,則,即.

(2)設,則對恒成立.

,且,即.

另一方面,當時,記,則.

當時,在內為減函數,

當時,,即在內為減函數,

當時,恒成立,符合題意.

當時,

①若,則對恒成立,

在內為增函數,當時,恒成立,不符合題意.

②若,令,則

在內為增函數,當時,,即

在內為增函數,當時,,不符合題意,

綜上所述.