已知
，
，直線
與函數
、
的圖象都相切，且與函數的圖象的切點的橫坐標為
.
(Ⅰ)求直線的方程及
的值；
(Ⅱ)若
(其中
是的導函數)，求函數
的最大值；
(Ⅲ)當
時，求證：
.
(Ⅰ)直線的方程為
.
.
(Ⅱ)當
時，取最大值，其最大值為2.
(Ⅲ)
解析試題分析：(Ⅰ)
，
.∴直線的斜率為，且與函數的圖象的切點坐標為
. ∴直線的方程為. 又∵直線與函數
的圖象相切,
∴方程組
有一解. 由上述方程消去
，并整理得
①
依題意，方程①有兩個相等的實數根，
解之，得
或
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知
，
. 
.
∴當
時，
，當
時，
.
∴當時，取最大值，其最大值為2.
(Ⅲ) 
. 
， 
， 
.
由(Ⅱ)知當時，
∴當時，
，
. ∴
考點：導數的幾何意義，直線方程，利用導數研究函數的極值（最值），不等式證明問題。
點評：典型題，切線的斜率，等于在切點的導函數值。利用導數研究函數的極值，一般遵循“求導數、求駐點、研究導數的正負、確定極值”，利用“表解法”，清晰易懂。不等式的證明問題，往往通過構造函數，通過研究函數的最值達到目的。
心算口算巧算一課一練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
的圖象在點
處的切線斜率為
．
（Ⅰ）求實數
的值；
（Ⅱ）判斷方程
根的個數，證明你的結論；
（Ⅲ）探究：是否存在這樣的點
，使得曲線
在該點附近的左、右的兩部分分別位于曲線在該點處切線的兩側？若存在，求出點A的坐標；若不存在，說明理由．
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，試確定函數
的單調區間；
，且對于任意
，
恒成立，試確定實數
的取值范圍；
，求證：
．
（e為自然對數的底數）．
的單調增區間；
≥
的解集為M，且集合
，求實數t的取值范圍．
在
與
時都取得極值
的值與函數
的單調區間
，不等式
恒成立，求c的取值范圍
在（1,2）上是增函數，
在（0,1）上是減函數。
求
的值；
當
時，若
在
內恒成立，求實數
的取值范圍;
求證：方程
在
內有唯一解.
．
的單調區間；
時，判斷
和
的大小，并說明理由；
時，關于
的方程：
在區間
上總有兩個不同的解．
．
時，求曲線
在點
處的切線方程；
，
在區間
上是增函數，求實數
的取值范圍．
。
的單調遞減區間；
的切線方程；
上的最大值與最小值。