Question

【題目】已知數列{an}前n項的和為Sn ， 滿足a1=0，an≥0，3an+12=an2+an+1（n∈N*） （Ⅰ）用數學歸納法證明：1 ≤an＜1（n∈N*）
（Ⅱ）求證：an＜an+1（n∈N*）

Answer 1

【答案】證明：（I）當n=1時，顯然結論成立；

假設n=k時，結論成立，即1﹣ ≤ak＜1，

則3ak+12=ak2+ak+1＜3，

由ak+1≥0，∴ak+1＜1，

又ak≥1﹣ ，

∴3ak+12=ak2+ak+1≥（1﹣ ）2+（1﹣ ）+1= ﹣ +3，

ak+12≥1﹣ + ＞1﹣ + =（1﹣ ）2，

∴ak+1＞1﹣ ，

∴當n=k+1時，結論成立，

∴1 ≤an＜1（n∈N*）．

（II）3an+12﹣3an2=﹣2an2+an+1=﹣2（an﹣ ）2+ ，

由（1）可知0≤an＜1，

∴﹣2（an﹣ ）2+ ＞0，

∴3an+12﹣3an2＞0，

∴an＜an+1

【解析】（I）驗證n=1結論成立，假設n=k結論成立，利用不等式的性質推導n=k+1時結論成立即可；（II）使用作差法和二次函數的性質得出結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的通項公式(如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式)．