Question

【題目】已知函數 ，且滿足.

（1）判斷函數在上的單調性，并用定義證明；

（2）設函數，求在區間上的最大值；

（3）若存在實數m，使得關于x的方程恰有4個不同的正根，求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) 時， . (3)

【解析】試題分析：（1）根據確定a.再任取兩數，作差，通分并根據分子分母符號確定差的符號，最后根據定義確定函數單調性（2）先根據絕對值定義將函數化為分段函數，都可化為二次函數，再根據對稱軸與定義區間位置關系確定最值，最后取兩個最大值中較大值（3）先對方程變形得，設,轉化為方程方程在有兩個不等的根，根據二次函數圖像，得實根分布條件，解得實數m的取值范圍.

試題解析：(1) 由，得或0.

因為，所以，所以.

當時， ，任取，且，

則 ，

因為，則， ，

所以在上為增函數；

（2），

當時， ，

因為，所以當時， ；

當時， ，

因為時，所以，所以當時， ；

綜上，當即時， .

（3）由（1）可知， 在上為增函數,當時， .

同理可得在上為減函數，當時， .

方程可化為，

即.

設,方程可化為.

要使原方程有4個不同的正根，

則方程在有兩個不等的根，

則有，解得，

所以實數m的取值范圍為.