Question

設數列{a_n}的各項均為正數，它的前n項和為S_n（n∈N*），已知點（a_n，4S_n）在函數f （x）=x²+2x+1的圖象上．
（1）證明{a_n}是等差數列，并求a_n；
（2）設m、k、p∈N*，m+p=2k，求證：+≥；
（3）對于（2）中的命題，對一般的各項均為正數的等差數列還成立嗎？如果成立，請證明你的結論，如果不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由4S_n=a_n²+2a_n+1，遞推得4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1+1（n≥2），兩式相減整理可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由a_n+a_n-1≠0，可知a_n-a_n-1=2，符合等差數列的定義．
（2）由（1）可求得，從而有S_m=m²，S_p=p²，S_k=k²．再作差比較．
（3）由特殊到一般可猜想結論成立，設等差數列{a_n}的首項為a₁，公差為d，則，可證明S_m+S_p-2S_k=ma₁+d+pa₁+d-[2ka₁+k（k-1）d]=（m+p）a₁+d-[2ka₁+（k²-k）d]=•d=≥0，S_mS_p==≤=，從而得證．
解答：證明：（1）∵4S_n=a_n²+2a_n+1，
∴4S_n-1=a_n-1²+2a_n-1+1（n≥2）．
兩式相減得4a_n=a_n²-a_n-1²+2a_n-2a_n-1．
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=2（常數）．
∴{a_n}是以2為公差的等差數列．又4S₁=a₁²+2a₁+1，即a₁²-2a₁+1=0，解得a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．（4分）
（2）由（1）知，∴S_m=m²，S_p=p²，S_k=k²．
由=
≥≥=0，
即≥．（7分）
（3）結論成立，證明如下：
設等差數列{a_n}的首項為a₁，公差為d，則，
∵S_m+S_p-2S_k=ma₁+d+pa₁+d-[2ka₁+k（k-1）d]=（m+p）a₁+d-[2ka₁+（k²-k）d]，
把m+p=2k代入上式化簡得
S_m+S_P-2S_k=•d=≥0，
∴Sm+Sp≥2Sk．
又S_mS_p==
≤
=
==
∴+=≥=．
故原不等式得證．（14分）
點評：本題主要考查數列與函數，不等式的綜合運用，主要涉及了等差數列通項及前n項和，不等式證明，還考查了放縮法，轉化思想．