Question

試證明:在平面上所有通過點(,0)的直線中,至少通過兩個有理點(有理點指坐標x、y均為有理數的點)的直線有一條且只有一條.

      

Answer 1

證明:先證存在性.?

       因為直線y=0顯然通過點(,0),且直線y=0至少通過兩個有理點,例如它通過(0,0)和(1,0).這說明滿足條件的直線有一條.?

       再證唯一性.?

       假設除了直線y=0外還存在一條直線y=kx+b(k≠0或b≠0)通過點(,0),且該直線通過有理點A(x₁,y₁)與B(x₂,y₂),其中x₁、y₁、x₂、y₂均為有理數.?

       因為直線y=kx+b通過點(,0),所以b=-k,于是y=k(x-),且k≠0.又直線通過A(x₁,y₁)與B(x₂,y₂)兩點,?

       所以y₁=k(x₁-),                            ①?

       y₂=k(x₂-).                                  ②?

       ①-②,得y₁-y₂=k(x₁-x₂).                     ③?

       因為A、B是兩個不同的點,且k≠0,所以x₁≠x₂,y₁≠y₂.?

       由③,得k=,且k是不等于零的有理數.?

       由①,得=x₁-.?

       此式的左邊是無理數,右邊是有理數,出現了矛盾.?

       所以,平面上通過點(2,0)的直線中,至少通過兩個有理點的直線只有一條.?

       綜上所述,滿足上述條件的直線有一條且只有一條.?