Question

在直角坐標系xOy中,點P到兩點(0,-)、(0,)的距離之和等于4,設點P的軌跡為C,直線y=kx+1與C交于A、B兩點.

(1)寫出C的方程;

(2)若⊥,求k的值;

(3)若點A在第一象限,證明當k＞0時,恒有||＞||.

Answer 1

解:(1)設P(x,y),由橢圓定義可知,點P的軌跡C是以(0,-),(0,)為焦點,長半軸為2的橢圓,它的短半軸b==1,故曲線C的方程為x²+=1.

(2)設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),其坐標滿足消去y并整理得(k²+4)x²+2kx-3=0,

故x₁+x₂=,x₁x₂=.若⊥,即x₁x₂+y₁y₂=0.

而y₁y₂=k²x₁x₂+k(x₁+x₂)+1,于是x₁x₂+y₁y₂=·+1=0,

化簡得-4k²+1=0,所以k=±.

(3)||²-||²=x₁²+y₁²-(x₂²+y₂²)=(x₁²-x₂²)+4(1-x₁²-1+x₂²)=-3(x₁-x₂)(x₁+x₂)

=.因為A在第一象限,故x₁＞0.

由x₁x₂=知x₂＜0,從而x₁-x₂＞0.又k＞0,故||²-||²＞0,

即在題設條件下,恒有||＞||.