Question

設函數f（x）=x²-2tx+4t³+t²-3t+3，其中x∈R，t∈R，將f（x）的最小值記為g（t）．
（1）求g（t）的表達式；
（2）討論g（t）在區間[-1，1]內的單調性；
（3）若當t∈[-1，1]時，|g（t）|≤k恒成立，其中k為正數，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x）=2x-2t，當x＞t時和當x＜t時函數的增減性即可得到f（x）的最小值為f（t）=g（t）算出即可
（2）求出g（t）=0求出函數駐點，在[-1，1]上討論函數的單調性即可；
（3）要討論，|g（t）|≤k恒成立即g（t）的最大值≤k，求出g（t）的最大值列出不等式求出k的范圍即可．

解答：解：（1）根據題意得f′（x）=2x-2t=0得x=t，當x＜t時，f′（x）＜0，函數為減函數；當x＞t時，f′（x）＞0，函數為減函數．則f（x）的最小值g（t）=f（t）=4t³-3t+3；
（2）求出g′（t）=12t²-3=0解得t=±

1

2

，
當-1≤t＜-

1

2

或

1

2

≤t≤1時，g′（t）＞0，函數為增函數；
當-

1

2

≤t≤

1

2

時，g′（t）＜0，函數為減函數．所以函數的遞增區間為[-1，-

1

2

]與[

1

2

，1]，遞減區間為[-

1

2

，

1

2

）；
（3）由（2）知g（t）的遞增區間為[-1，-

1

2

]與[

1

2

，1]，遞減區間為[-

1

2

，

1

2

）；
又g（1）=4，g（-

1

2

）=4
∴函數g（t）的最大值為4，
則g（t）≤4．
∵當t∈[-1，1]時，|g（t）|≤k恒成立，
∴k≥4

點評：考查學生利用導數求閉區間上函數最值的能力，利用導數研究函數的單調性的能力，以及理解函數恒成立條件的能力．