Question

已知y=f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＞0時不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=3^0.3•f（3^0.3），b=logπ3．f(logπ3)，c=log3

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•f(log3

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)，則a，b，c大小關系是（　　）

A．b＞a＞c

B．a＞b＞c

C．a＞c＞b

D．b＞c＞a

Answer 1

分析：由已知中f（x）+xf′（x），結合導數的運算性質（uv）′=u′v+uv′，構造函數h（x）=xf（x），則h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，所以利用h（x）的單調性問題很容易解決．

解答：解：令h（x）=xf（x），
∵函數y=f（x）以及函數y=x是R上的奇函數
∴h（x）=xf（x）是R上的偶函數，
又∵當x＞0時，h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
∴函數h（x）在x∈（0，+∞）時的單調性為單調遞減函數；
∴h（x）在x∈（-∞，0）時的單調性為單調遞增函數．
若a=3^0.3•f（3^0.3），b=logπ3．f(logπ3)，c=log3

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•f(log3

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)，
又∵函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（0）=0，從而h（0）=0
因為log₃

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=-2，所以f（log₃

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）=f（-2）=-f（2），
由0＜log_π3＜1＜3^0.3＜3^0.5＜2
所以h（log_π3）＞h（3^0.3）＞h（2）=f（log3

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），
即：b＞a＞c
故選A

點評：本題考查的考點與方法有：1）所有的基本函數的奇偶性；2）抽象問題具體化的思想方法，構造函數的思想；3）導數的運算法則：（uv）′=u′v+uv′；4）指對數函數的圖象；5）奇偶函數在對稱區間上的單調性：奇函數在對稱區間上的單調性相同；偶函數在對稱區間上的單調性相反；5）奇偶函數的性質：奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇（同號得正、異號得負）；奇+奇=奇；偶+偶=偶．本題結合已知構造出h（x）是正確解答的關鍵所在．