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(2013•松江區一模)對于雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1,(a>0,b>0)
,定義C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
,為其伴隨曲線,記雙曲線C的左、右頂點為A、B.
(1)當a>b時,記雙曲線C的半焦距為c,其伴隨橢圓C1的半焦距為c1,若c=2c1,求雙曲線C的漸近線方程;
(2)若雙曲線C的方程為
x2
4
-
y2
2
=1
,弦PQ⊥x軸,記直線PA與直線QB的交點為M,求動點M的軌跡方程;
(3)過雙曲線C:x2-y2=1的左焦點F,且斜率為k的直線l與雙曲線C交于N1、N2兩點,求證:對任意的k∈[-2-
1
4
2-
1
4
]
,在伴隨曲線C1上總存在點S,使得
FN1
FN2
=
FS
2
分析:(1)利用雙曲線的a、b、c的關系及橢圓的a、b、c1的關系及雙曲線的漸近線的方程即可得出;
(2)設出點P、Q的坐標,利用點斜式得出直線PA、QB的方程,聯立即可得出交點M的坐標,反解出點P的坐標,利用代點法即可求出軌跡;
(3)設出直線l的方程,并與雙曲線的方程聯立,利用根與系數的關系及已知條件求出
FN1
FN2
的范圍,再求出伴隨曲線C1上的任意一點到點F的距離的平方的取值范圍,即可判斷出結論是否成立.
解答:解:(1)∵c=
a2+b2
,c1=
a2-b2
,
由c=2c1,得
a2+b2
=2
a2-b2
,即a2+b2=4(a2-b2
可得  
b2
a2
=
3
5
,
∴C的漸近線方程為y=±
15
5
x
;
(2)設P(x0,y0),Q(x0,-y0),又A(-2,0)、B(2,0),
∴直線PA的方程為y=
y0
x0+2
(x+2)
…①
直線QB的方程為y=
-y0
x0-2
(x-2)
…②,
由①②得
x0=
4
x
y0=
2y
x
,
∵P(x0,y0)在雙曲線
x2
4
-
y2
2
=1

42
x2
4
-
4y2
x2
2
=1
,整理得
x2
4
+
y2
2
=1

(3)證明:點F的坐標為F(-
2
,0)
,直線l的方程為y=k(x+
2
)
,
設N1、N2的坐標分別為N1(x1,y1)、N2(x2,y2),
則由
y=k(x+
2
)
x2-y2=1
x2-k2(x+
2
)2=1
,
(1-k2)x2-2
2
k2x-(2k2+1)=0

當k≠±1時,
∵△=8k4+4(1-k2)(2k2+1)=8k4-8k4+4k2+4=4k2+4>0
x1+x2=
2
2
k2
1-k2
,x1x2=-
2k2+1
1-k2
,
FN1
FN2
=(x1+
2
y1)•(x2+
2
y2)=(x1+
2
)(x2+
2
)+y1y2

=(x1+
2
)(x2+
2
)+k(x1+
2
)k(x2+
2
)=(1+k2)[x1x2+
2
(x1+x2)+2]

=(1+k2)(-
2k2+1
1-k2
+
2
2
2
k2
1-k2
+2)=
1+k2
1-k2

k∈[-2-
1
4
,2-
1
4
]
知 k2∈[0,
2
2
]
,
1+k2
1-k2
∈[1,3+2
2
]

∵雙曲線C:x2-y2=1的伴隨曲線是圓C1x2+y2=1,圓C1上任意一點S到F的距離|SF|∈[
2
-1,1+
2
]

SF
2
∈[3-2
2
,3+2
2
]

[1,3+2
2
]⊆[3-2
2
,3+2
2
]

∴對任意的k∈[-2-
1
4
2-
1
4
]
,在伴隨曲線C1上總存在點S,
使得
FN1
FN2
=
FS
2
點評:熟練掌握雙曲線的a、b、c的關系及橢圓的a、b、c1的關系、雙曲線的漸近線的方程、直線相交問題、代點法求軌跡問題、一元二次方程的根與系數關系、向量的數量積的計算等是解題的關鍵.本題需要較強的計算能力.
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1
2
)x-1
,若在區間(-2,6]內關于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有3個不同的實數根,則a的取值范圍是(  )

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5
x
+
2
y
的最小值是
2
2

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(2013•松江區一模)拋物線的焦點為橢圓
x2
5
+
y2
4
=1
的右焦點,頂點在橢圓中心,則拋物線方程為
y2=4x
y2=4x

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x
,
y
)

若曲線C0
x
4
+
y
2
=1(x≥0,y≥0)
經變換T后得到曲線C1,曲線C1經變換T后得到曲線C2…,依此類推,曲線Cn-1經變換T后得到曲線Cn,當n∈N*時,記曲線Cn與x、y軸正半軸的交點為An(an,0)和Bn(0,bn).某同學研究后認為曲線Cn具有如下性質:
①對任意的n∈N*,曲線Cn都關于原點對稱;
②對任意的n∈N*,曲線Cn恒過點(0,2);
③對任意的n∈N*,曲線Cn均在矩形OAnDnBn(含邊界)的內部,其中Dn的坐標為Dn(an,bn);
④記矩形OAnDnBn的面積為Sn,則
lim
n→∞
Sn=1

其中所有正確結論的序號是
③④
③④

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(2013•松江區一模)已知遞增的等差數列{an}的首項a1=1,且a1、a2、a4成等比數列.
(1)求數列{an}的通項公式an
(2)設數列{cn}對任意n∈N*,都有
c1
2
+
c2
22
+…+
cn
2n
=an+1
成立,求c1+c2+…+c2012的值.
(3)若bn=
an+1
an
(n∈N*),求證:數列{bn}中的任意一項總可以表示成其他兩項之積.

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