Question

已，且函數f（x）在處取得極值．
（ I）求f（x）的解析式與單調區間；
（ II）是否存在實數m，對任意的x₁∈[-1，2]，都存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=3f（x₁）成立？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（I），得a=-1，
且，b=0，則
；
；
∴；
遞減區間為

（ II）由（1）得

x	-1	（-1，）		（，）		（，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）		增		減		增

所以當x₁∈[1，2]時，≤f（x₁）≤，≤3f（x₁）≤…（10分）
假設對任意的x₁∈[-1，2]時都存在x₀∈[0，1]時使得g（x₀）=3f（x₁）成立，
設g（x₀）的最大值為T，最小值為t，則要求，
又g'（x）=x²+m²，所以當x₀∈[0，1]時時，
且，．
綜上，；
分析：（I）已知f（x）的解析式，對f（x）進行求導，根據函數f（x）在處取得極值可得f′（）=0，f（）=，可以得到f（x）的解析式，然后利用導數求f（x）的單調區間；
（II）假設存在，則由（I）已知f（x）的單調區間，當x₁∈[-1，2]，可以求出f（x）的值域，進而求出3f（x）的范圍，對于g（x）進行求導發現其為增函數，從而求出g（x）在[0，1]上的最值，然后進行判斷；
點評：此題是關于導數應用的綜合題，考查的知識點比較全面，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值，是一道難題；