Question

【題目】已知函數，其中a為正實數.

（1）求函數的單調區間；

（2）若函數有兩個極值點，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析；

【解析】

（1）根據函數，求導得到，然后根據，分討論求解.

（2）由（1）得到若函數有兩個極值點，，則，且，，代入，得到，要證，只需證，構造函數，用導數法結合零點存在定理證明即可.

（1）因為函數，

所以，函數的定義域為，

令，

①若，即時，則，此時的單調減區間為；

②若，即時，

令，得，

當或時，，

當時，，

此時的單調減區間為，，

單調增區間為.

（2）由（1）知，當時，函數有兩個極值點，，且，.

因為，

，

，

要證，只需證.

構造函數，

則，

在上單調遞增，又，，且在定義域上不間斷，

由零點存在定理，可知在上唯一實根，且.

則在上遞減，上遞增，所以的最小值為

因為，

當時，，則，

所以恒成立.

所以，

所以，得證.