Question

【題目】某廠家擬在2020年舉行促銷活動，經調查測算，某產品的年銷售量（即該廠的年產量）萬件與年促銷費用萬元，滿足（為常數），如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件，已知2020年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件，該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）.

（1）將2020年該產品的利潤（萬元）表示為年促銷費用（萬元）的函數；

（2）該廠家2020年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

Answer 1

【答案】（1）；（2）廠家2020年的促銷費用投入3萬元時,廠家的利潤最大,為21萬元.

【解析】

（1）由不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是1萬件，可求k的值，再求出每件產品銷售價格的代數式，則利潤（萬元）表示為年促銷費用（萬元）的函數可求.

（2）由（1）得，再根據均值不等式可解.注意取等號.

（1）由題意知,當時,

所以,

每件產品的銷售價格為元.

所以2020年的利潤；

(2)由(1)知,,

當且僅當,即時取等號,

該廠家2020年的促銷費用投入3萬元時,廠家的利潤最大,為21萬元.