Question

已知實數a＞0，函數f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有極大值8．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）求實數a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）然后利用導數求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）利用函數的極大值確定a的值，

解答：解：（Ⅰ）函數的導數為f'（x）=a（x-2）²+2（x-2）ax=3ax²-8ax+4a=3a(x-2)(x-

2

3

)，
因為a＞0，
則由f'（x）＞0，則x＞2或x＜

2

3

，此時函數單調遞增，
由f'（x）＜0，則

2

3

＜x＜2，此時函數單調遞減．
即函數的單調增區間為（2，+∞）和（-∞，

2

3

）．
函數的單調遞減區間為（

2

3

，2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當x=

2

3

時，函數取得極大值，
所以由f（

2

3

）=8得，f(

2

3

)=

2

3

a(

2

3

-2)2=

32a

27

=8，
解得a=

27

4

．

點評：本題主要考查函數的單調性，極值與導數之間的關系，要求熟練掌握導數的應用．