Question

【題目】現有一個以、為半徑的扇形池塘，在、上分別取點、，作、分別交弧于點、，且，現用漁網沿著、、、將池塘分成如圖所示的養殖區域.已知， ， （）.

（1）若區域Ⅱ的總面積為，求的值；

（2）若養殖區域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分別是30萬元、40萬元、20萬元，試問：當為多少時，年總收入最大？

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）本問考查解三角函數的實際應用，由及可知，根據條件易證，所以 ，由可以求出 ，所以區域Ⅱ的總面積為，則，可以求出的值；（2）本問考查函數的最值問題，區域Ⅰ的面積可以根據扇形面積公式求得，區域Ⅱ的面積第（1）問中已經求出，區域Ⅲ的面積可以用1/4圓的面積減去區域Ⅰ、Ⅱ的面積，于是得到年收入函數，利用導數求函數的最大值即可得出年收入的最大值.

試題解析：（1）因為， ，所以.

因為， ， ，

所以， .

又因為，所以.

所以 ，

又

所以

所以（）.

由得， ， .

（2）因為，所以 .

記年總收入為萬元，

則

（），

所以，令，則.

當時， ；當時， .

故當時， 有最大值，即年總收入最大.