Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓： （）的離心率且橢圓上的點到點的距離的最大值為3.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）在橢圓上，是否存在點，使得直線： 與圓： 相交于不同的兩點、，且的面積最大？若存在，求出點的坐標及對應的的面積；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，M的坐標為、、、，最大值為。

【解析】試題分析：（1）離心率，得到，即此時橢圓方程為，設橢圓上的點為P，

兩點間的距離等于3，可得到b=1，所以可求得橢圓方程；（2）在解析幾何中，三角形的面積公式通常有兩種計算方式，，本題由于沒有給出角度的關系，所以采用第一種方法。通過聯立方程即可得到M的坐標。

試題解析：（Ⅰ）因為，所以，于是. 1分

設橢圓上任一點，橢圓方程為，，=

①當，即時，（此時舍去； 3分

②當即時，5分

綜上橢圓C的方程為。 6分

（Ⅱ）圓心到直線的距離為，弦長，所以的面積為8分

點,10分

當時，由得

綜上所述，橢圓上存在四個點、、、，使得直線與圓相交于不同的兩點、，且的面積最大，且最大值為. 12分