Question

【題目】已知拋物線，過點的直線交于，兩點，圓是以線段為直徑的圓．

（1）證明：坐標原點在圓上；

（2）設圓過點，求直線與圓的方程．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當時，直線的方程為，圓的方程為．當時，直線的方程為，圓的方程為．

【解析】

（1）設，，，與拋物線方程聯立可得，，可證的斜率與的斜率之積為，即可得證明結論.
（2）因為圓的直徑為，且過點，由圓的性質得出，結合（1）中的韋達定理，代數化簡求得的值，因此得出直線的方程和圓的方程.

解：（1）證明：設，，，

由，可得，則．

又，，故．

因此的斜率與的斜率之積為，

所以，故坐標原點在圓上．

（2）由（1）可得，

，

故圓心的坐標為，圓的半徑．

由于圓過點，因此，

故，

即，

由（1）可知，，

所以，解得，或．

當時，直線的方程為，圓心的坐標為，

圓的半徑為，圓的方程為．

當時，直線的方程為，圓心的坐標為，

圓的半徑為，圓的方程為．