Question

f（x）是定義在D上的函數，若對任何實數α∈（0，1）以及D中的任意兩數x₁，x₂，恒有f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂），則稱f（x）為定義在D上的C函數．
（Ⅰ）試判斷函數f₁（x）=x²，中哪些是各自定義域上的C函數，并說明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函數，m是給定的正整數，設a_n=f（n），n=0，1，2，…，m，且a₀=0，a_m=2m，記S_f=a₁+a₂+…+a_m．對于滿足條件的任意函數f（x），試求S_f的最大值；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中S_f的最大值記為h（m），且h（1）+h（2）+…+h（m）≤a對任意給定的正整數m恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）f₁（x）=x²是C函數，證明如下：
對任意實數x₁，x₂及α∈（0，1），
有f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=（αx₁+（1-α）x₂）²-αx₁²-（1-α）x₂²=-α（1-α）x₁²-α（1-α）x₂²+2α（1-α）x₁x₂=-α（1-α）（x₁-x₂）²≤0．
即f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）．
∴f₁（x）=x²是C函數．
不是C函數，證明如下：
取x₁=-3，x₂=-1，，
則f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂）=．
即f（αx₁+（1-α）x₂）＞αf（x₁）+（1-α）f（x₂）．
∴不是C函數．
（Ⅱ） 對任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，．
∵f（x）是R上的C函數，a_n=f（n），且a₀=0，a_m=2m
∴a_n=f（n）=f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）=．
那么S_f=a₁+a₂+…+a_m≤2×（1+2+…+m）=m²+m．
可證f（x）=2x是C函數，且使得a_n=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此時S_f=m²+m．
綜上所述，S_f的最大值為m²+m．
（Ⅲ）∵h（1）+h（2）+…+h（m）≤a對任意給定的正整數m恒成立
所以只需要a大于等于其最大值即可．
因為h（m）=m²+m，當m是正整數時，函數值隨自變量的增大而增大；
所以h（m）沒有最大值．
故h（1）+h（2）+…+h（m）也沒有最大值．
所以所求a不存在．
分析：（Ⅰ）f₁（x）=x²是C函數，直接找f（αx₁+（1-α）x₂）-αf（x₁）-（1-α）f（x₂），推出其小于等于0即可；不是C函數，采用舉反例的方法即可，x₁=-3，x₂=-1，．
（Ⅱ）先根據定義求出a_n=f（n）的范圍，再結合定義即可求出S_f的最大值；
（Ⅲ）結合（Ⅱ）中S_f的最大值為m²+m，可得h（m）隨著自變量的增大，函數值也在增大，所以h（m）沒有最大值，其和也沒有最大值；即可說明所求的a不存在．
點評：本題主要是在新定義下考查恒成立問題．恒成立問題一般有兩種情況，一是f（x）＞a恒成立，只須比f（x）的最小值小即可，二是f（x）＜a恒成立，只須比f（x）的最大值大即可．