Question

某建筑工地上所用的金屬支架由AB與CD組成，如圖所示，根據要求，AB至少長2a（a＞2）m，C為AB中點，B到D的距離比CD的長小1m．∠BCD=60°．已知金屬支架的材料每米的價格為10元．
（1）設AB=2x，CD=y，試用x表示y；
（2）怎樣設計AB、CD的長，可使建造這個支架的成本最低？

Answer 1

分析：（1）△BCD中，BC=x，CD=y，∠BCD=60°，由余弦定理可求BD；又BD比CD小1，可得x，y的關系式；
（2）由造價函數：W=10（2x+y）=10（2x+

x2-1

x-2

）（其中x≥a＞2），不妨設t=x-2≥a-2＞0，化簡W為t的函數容易求出結果；

解答：解：（1）如圖，由余弦定理得：BD²=x²+y²-2xycos60°，∴BD=

x2+y2-xy

；
由題意知，BD=CD-1，即

x2+y2 -xy

=y-1，∴y=

x2-1

x-2

（其中x≥a＞2）；
（2）設支架的造價為：W=10（2x+y），不妨令z=2x+y=2x+

x2-1

x-2

，
如果設t=x-2，那么t≥a-2＞0，∴z=2（t+2）+

(t+2)2-1

t

=3（t+

1

t

）+8；
當a-2＞1，即a＞3時，∵z=3(t+

1

t

)+8在[a-2，+∞）上單調遞增，∴x=a時，有AB=2a，CD=

a2-1

a-2

，這時造價W的值最小；
當 2＜a≤3時，t=1，x=3，這時造價W的值也最小，且有AB=6，CD=8．

點評：本題借助三角形的余弦定理建立函數解析式，考查函數的最值問題，是中檔題．