Question

已知正弦函數y=sinx具有如下性質：若x₁，x₂，…x_n∈（0，π），則

sinx1+sinx2+…+sinxn

n

≤sin（

x1+x2+…+xn

n

）（其中當 x₁=x₂=…=x_n時等號成立）．根據上述結論可知，在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為

3 3

2

．

Answer 1

分析：利用正弦函數的性質可得：

sinA+sinB+sinC

3

≤sin

A+B+C

3

，變形得 sinA+sinB+sinC≤3sin

π

3

利用特殊三角函數值求得問題答案．

解答：解：∵已知正弦函數y=sinx具有如下性質：若x₁，x₂，…x_n∈（0，π），則

sinx1+sinx2+…+sinxn

n

≤sin（

x1+x2+…+xn

n

），
且A、B、C∈（0，π），
∴

sinA+sinB+sinC

3

≤sin

A+B+C

3

，
即sinA+sinB+sinC≤3sin

π

3

=

3 3

2

，
所以sinA+sinB+sinC的最大值為

3 3

2

．
故答案為：

3 3

2

點評：本題主要考查三角函數的最值問題．考查了考生運用所給條件分析問題的能力和創造性解決問題的能力．