Question

如圖，已知OPQ是半徑為為1，圓心角為

π

3

的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內接矩形．記∠COP=α，矩形ABCD的面積為S．
（1）請找出S與α之間的函數關系（以α為自變量）；
（2）求當α為何值時，矩形ABCD的面積最大？并求出這個最大面積．

Answer 1

分析：（1）先把矩形的各個邊長用角α表示出來，進而表示出矩形的面積；
（2）再利用角α的范圍，結合正弦函數的性質可求求矩形面積的最大值即可．

解答：解：在RT△OBC中，OB=OC•cosα=cosα，BC=OC•sinα=sinα
在RT△OAD中，

DA

OA

=tan60°=

3

（2分）
∴OA=

3

3

DA=

3

3

BC=

3

3

sinα，
∴AB=OB-OA=cosα-

3

3

sinα，（4分）
矩形ABCD的面積S=AB•BC=(cosα-

3

3

sinα)sinα=sinαcosα-

3

3

sin2α=

1

2

sin2α-

3

6

(1-cos2α)=

1

2

sin2α+

3

6

cos2α-

3

6

=

1

3

(

3

2

sin2α+

1

2

cos2α)-

3

6

=

1

3

sin(2α+

π

6

)-

3

6

（8分）
（2）由0＜α＜

π

3

，得

π

6

＜2α+

π

6

＜

5π

6

，（10分）
所以當2α+

π

6

=

π

2

，即α=

π

6

時，（12分）
S最大=

1

3

-

3

6

=

3

6

所以，當α=

π

6

時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為

3

6

．（14分）

點評：本題考查在實際問題中建立三角函數模型，求解問題的關鍵是根據圖形建立起三角模型，將三角模型用所學的恒等式變換公式進行化簡．