Question

四面體ABCD中,AD=BC=a,　BD=AC=b,　AB=CD=c,以它們為棱,相應兩個面為面的二面角依次為α、β、γ.?

       (1)求證:;?

       (2)求四面體ABCD的體積;?

       (3)若a=5,b=4,c=6,求α的正弦值;?

       (4)求AD與平面BCD所成的角〔條件同(3)〕;?

       (5)條件同(3),求四面體的外接球半徑.

Answer 1

(1)證明:作CE⊥AD交AD于E.?

作CH⊥面ABD交ABD于H.?

連結EH,記CH長為h,CE為h_a.?

∵CH⊥面ABD,CE⊥AD,?

∴HE⊥AD,sinα=.?

又a·h_a·=S,?

∴.?

為常量.同理,.?

∴.?

(2)解析：過點C作GF∥DB.C為GF中點,連結GD并延長至E.DE=DG.連結EF、AE、AG、AF.

∵AC=GF,∴AG⊥AF.?

同理可得EA⊥FA,AE⊥AG.?

設AE=x,AF=z,AG=y.?

解得

∴V_E—AGF?=xyz,?

V_A—DBC?=V_E—AGF?,?

V_ABCD?=.?

 

(3)解析：V=?

=×5×3×3=.?

cosθ=.?

∴S=sinθab=××5×4=.?

∴d=.∴sinα=.?

(4)解析：設所成角為γ.?

sinγ=.?

(5)解析：把四面體ABCD補成長方體,設其邊長為x、y、z,則有?

x²+y²=a²,                  ①?

y²+z²=b²,                  ②?

z²+x²=c².                  ③?

(①+②+③),得(2R)²=a²+b²+c².?

∴R=.