Question

(21)已知數列{x_n}、{y_n}滿足x₁=x₂=1，y₁=y₂=2，并且 (為非零參數，n=2，3，4，…)．

(Ⅰ)若x₁、x₃、x₅成等比數列，求參數的值；

 

(Ⅱ)當＞0時，證明 (n∈N^*)；

 

(Ⅲ)當＞1時，證明＜(n∈N^*).

Answer 1

本小題以數列的遞推關系為載體，主要考查等比數列的等比中項及前n項和公式、不等式的性質及證明等基礎知識，考查運算能力和推理論證能力.

（Ⅰ）解：由已知x₁=x₂=1,且

         

若x₁、x₃、x₅成等比數列，則 =x₁x₅,即²=⁶.而≠0，解得=±1.

 

(Ⅱ)證明：由已知，＞0，x₁=x₂=1及y₁=y₂=2，可得x_n＞0,y_n＞0.由不等式的性質，有

 

≥≥²≥…≥^n-1=^n-1。

 

另一方面，

 

因此，（n∈N^*）.故

 

（n∈N^*）.

 

（Ⅲ）證明：當＞1時，由（Ⅱ）可知y_n＞x_n≥1（n∈N^*）。

 

又由（Ⅱ）（n∈N^*），則

，

 

從而=^n-1（n∈N^*）.因此

 

 

≤1+＜.